53 Gaussian Regression
Letzte Änderung am 05. April 2024 um 20:52:51
“Regression analysis is the hydrogen bomb of the statistics arsenal.” — Charles Wheelan, Naked Statistics: Stripping the Dread from the Data
Selten nutzen wir eine multiple gaussian lineare Regression alleine. Häufig haben wir dann ein normalverteiltes Outcome, weshalb wir die Gaussian Regression überhaupt rechnen, und dann noch mehrere Faktoren über die wir eine Aussagen treffen wollen. In der folgenden Abbildung 53.1 siehst du nochmal den Zusammenhang zwischen einem normalverteilten Outcome, wie Gewicht oder Größe, im Bezug zu einem kontinuierlichen oder kategoriellen \(x\) als Einflussgröße. Wir sind dann eher im Bereich der Posthoc-Tests mit kategoriellen \(x\) als in wirklich einer Interpretation einer Gaussian Regression mit einem kontinuierlichen \(x\). Dennoch müssen wir wissen, ob die Gaussian Regression gut funktioniert hat. Die Überprüfung der Modellierung können wir dann in diesem Kapitel einmal durchgehen.
Häufig wollen wir dann die Ergebnisse aus einer Gaussian Regression dann im Falle eines kategoriellen \(x\) dann als Barplots wie in der Abbildung 53.2 darstellen. Hier musst du dann einmal weiter unten in den Abschnitt zu den Gruppenvergleichen springen.
Im diesem Kapitel zu der multiplen Gaussian linearen Regression gehen wir davon aus, dass die Daten in der vorliegenden Form ideal sind. Das heißt wir haben weder fehlende Werte vorliegen, noch haben wir mögliche Ausreißer in den Daten. Auch wollen wir keine Variablen selektieren. Wir nehmen alles was wir haben mit ins Modell. Sollte eine oder mehre Bedingungen nicht zutreffen, dann schaue dir einfach die folgenden Kapitel an.
- Wenn du fehlende Werte in deinen Daten vorliegen hast, dann schaue bitte nochmal in das Kapitel 50 zu Imputation von fehlenden Werten.
- Wenn du denkst, dass du Ausreißer oder auffällige Werte in deinen Daten hast, dann schaue doch bitte nochmal in das Kapitel 48 zu Ausreißer in den Daten.
- Wenn du denkst, dass du zu viele Variablen in deinem Modell hast, dann hilft dir das Kapitel 49 bei der Variablenselektion.
Wir gehen jetzt einmal die lineare Regression mit einem normalverteilten Outcome \(y\) einmal durch. Wie schon oben erwähnt, meistens nutzten wir die Gaussian Regression als vorangestelltes Modell für eine ANOVA oder dann eben einen Posthoc-Test in {emmeans}.
53.1 Genutzte R Pakete
Wir wollen folgende R Pakete in diesem Kapitel nutzen.
R Code [zeigen / verbergen]
pacman::p_load(tidyverse, magrittr, broom,
see, performance, scales, parameters,
olsrr, readxl, car, gtsummary, emmeans,
multcomp, conflicted)
conflicts_prefer(dplyr::select)
cbbPalette <- c("#000000", "#E69F00", "#56B4E9", "#009E73",
"#F0E442", "#0072B2", "#D55E00", "#CC79A7")An der Seite des Kapitels findest du den Link Quellcode anzeigen, über den du Zugang zum gesamten R-Code dieses Kapitels erhältst.
53.2 Daten
Im Folgenden schauen wir uns die Daten eines Pilotprojektes zum Anbau von Kichererbsen in Brandenburg an. Wir haben an verschiedenen anonymisierten Bauernhöfen Kichererbsen angebaut und das Trockengewicht als Endpunkt bestimmt. Darüber hinaus haben wir noch andere Umweltparameter erhoben und wollen schauen, welche dieser Parameter einen Einfluss auf das Trockengewicht hat. In Kapitel 7.3 findest du nochmal mehr Informationen zu den Daten.
R Code [zeigen / verbergen]
chickpea_tbl <- read_excel("data/chickpeas.xlsx") In der Tabelle 53.1 ist der Datensatz chickenpea_tbl nochmal als Ausschnitt dargestellt. Insgesamt haben wir \(n = 95\) Messungen durchgeführt. Wir sehen, dass wir verschiedene Variablen gemessen haben. Unter anderem, ob es geregent hat oder an welcher Stelle in Brandenburg die Messungen stattgefunden haben. Ebenso haben wir geschaut, ob ein Wald in der Nähe der Messung war oder nicht. Wir nehmen als Outcome \(y\) das normalverteilte Trockengewicht dryweight.
| temp | rained | location | no3 | fe | sand | forest | dryweight |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 25.26 | high | north | 5.56 | 4.43 | 63 | >1000m | 253.42 |
| 21.4 | high | northeast | 9.15 | 2.58 | 51.17 | <1000m | 213.88 |
| 27.84 | high | northeast | 5.57 | 2.19 | 55.57 | >1000m | 230.71 |
| 24.59 | low | north | 7.97 | 1.47 | 62.49 | >1000m | 257.74 |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
| 25.47 | low | north | 6.92 | 3.18 | 64.55 | <1000m | 268.58 |
| 29.04 | low | north | 5.64 | 2.87 | 53.27 | >1000m | 236.07 |
| 24.11 | high | northeast | 4.31 | 3.66 | 63 | <1000m | 259.82 |
| 28.88 | low | northeast | 7.92 | 2 | 65.75 | >1000m | 274.75 |
Im Folgenden werden wir die Daten nur für das Fitten eines Modells verwenden. In den anderen oben genannten Kapiteln nutzen wir die Daten dann anders.
53.3 Fit des Modells
Wir rechnen jetzt den Fit für das vollständige Modell mit allen Variablen in dem Datensatz. Wir sortieren dafür einmal das \(y\) mit dryweight auf die linke Seite und dann die anderen Variablen auf die rechte Seite des ~. Wir haben damit unser Modell chickenpea_fit wie folgt vorliegen.
R Code [zeigen / verbergen]
chickenpea_fit <- lm(dryweight ~ temp + rained + location + no3 + fe + sand + forest,
data = chickpea_tbl)Soweit so gut. Wir können uns zwar das Modell mit der Funktion summary() anschauen, aber es gibt schönere Funktionen, die uns erlauben einmal die Performance des Modells abzuschätzen. Also zu klären, ob soweit alles geklappt hat und wir mit dem Modell weitermachen können.
53.4 Performance des Modells
Da ich die Daten selber gebaut habe, ist mir bekannt, dass das Outcome dryweight normalverteilt ist. Immerhin habe ich die Daten aus einer Normalverteilung gezogen. Manchmal will man dann doch Testen, ob das Outcome \(y\) einer Normalverteilung folgt. Das R Paket {oslrr} bietet hier eine Funktion ols_test_normality(), die es erlaubt mit allen bekannten statistischen Tests auf Normalverteilung zu testen. Wenn der \(p\)-Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau \(\alpha\), dann können wir die Nullhypothese, dass unsere Daten gleich einer Normalverteilung wären, ablehnen. Darüber hinaus bietet das R Paket {olsrr} eine weitreichende Diagnostik auf einem normalverteilten Outcome \(y\).
R Code [zeigen / verbergen]
ols_test_normality(chickenpea_fit) -----------------------------------------------
Test Statistic pvalue
-----------------------------------------------
Shapiro-Wilk 0.9809 0.1806
Kolmogorov-Smirnov 0.088 0.4287
Cramer-von Mises 8.2878 0.0000
Anderson-Darling 0.5182 0.1837
-----------------------------------------------Wir sehen, testen wir viel, dann kommt immer was signifikantes raus. Um jetzt kurz einen statistischen Engel anzufahren, wir nutzen wenn überhaupt den Shapiro-Wilk-Test oder den Kolmogorov-Smirnov-Test. Für die anderen beiden steigen wir jetzt hier nicht in die Theorie ab.
Nachdem wir die Normalverteilung nochmal überprüft haben wenden wir uns nun dem Wichtigen zu. Wir schauen jetzt auf die Varianz des Modells. Um zu überprüfen, ob das Modell funktioniert können wir uns den Anteil der erklärten Varianz anschauen. Wie viel erklären unsere \(x\) von der Varianz des Outcomes \(y\)? Wir betrachten dafür das Bestimmtheitsmaß \(R^2\). Da wir mehr als ein \(x\) vorliegen haben, nutzen wir das adjustierte \(R^2\). Das \(R^2\) hat die Eigenschaft immer größer und damit besser zu werden je mehr Variablen in das Modell genommen werden. Wir können dagegen Adjustieren und daher das \(R^2_{adj}\) nehmen.
R Code [zeigen / verbergen]
r2(chickenpea_fit)# R2 for Linear Regression
R2: 0.903
adj. R2: 0.894Wir erhalten ein \(R^2_{adj}\) von \(0.87\) und damit erklärt unser Modell ca 87% der Varianz von \(y\) also unserem Trockengewicht. Das ist ein sehr gutes Modell. Je nach Anwendung sind 60% bis 70% erklärte Varianz schon sehr viel.
Im nächsten Schritt wollen wir nochmal überprüfen, ob die Varianzen der Residuen auch homogen sind. Das ist eine weitere Annahme an ein gutes Modell. Im Prinzip überprüfen wir hier, ob unser Ourtcome auch wirklcih normalveteilt ist bzw. der Annahme der Normalverteilung genügt. Wir nutzen dafür die Funktion check_heteroscedasticity() aus dem R Paket {performance}.
R Code [zeigen / verbergen]
check_heteroscedasticity(chickenpea_fit)OK: Error variance appears to be homoscedastic (p = 0.512).Auch können wir uns einmal numerisch die VIF-Werte anschauen um zu sehen, ob Variablen mit anderen Variablen ungünstig stark korrelieren. Wir wollen ja nur die Korrelation des Modells, also die \(x\), mit dem Outcome \(y\) modellieren. Untereinander sollen die Variablen \(x\) alle unabhängig sein. Für können uns die VIF-Werte für alle kontinuierlichen Variablen berechnen lassen.
R Code [zeigen / verbergen]
vif(chickenpea_fit) GVIF Df GVIF^(1/(2*Df))
temp 1.067042 1 1.032977
rained 1.067845 1 1.033366
location 1.119450 2 1.028611
no3 1.062076 1 1.030571
fe 1.135119 1 1.065420
sand 1.072182 1 1.035462
forest 1.070645 1 1.034720Alle VIF-Werte sind unter dem Threshold von 5 und damit haben wir hier keine Auffälligkeiten vorliegen.
Damit haben wir auch überprüft, ob unsere Varianzen homogen sind. Also unsere Residuen annähend normalverteilt sind. Da unsere Daten groß genug sind, können wir das auch ohne weiteres Anwenden. Wenn wir einen kleineren Datensatz hätten, dann wäre die Überprüfung schon fraglicher. bei kleinen Fallzahlen funktioniert der Test auf Varianzheterogenität nicht mehr so zuverlässig.
In Abbildung 53.3 sehen wir nochmal die Visualisierung verschiedener Modellgütekriterien. Wir sehen, dass unsere beobachte Verteilung des Trockengewichts mit der vorhergesagten übereinstimmt. Ebenso ist der Residualplot gleichmäßig und ohne Struktur. Wir haben auch keine Ausreißer, da alle unsere Beobachtungen in dem gestrichelten, blauen Trichter bleiben. Ebenso zeigt der QQ-Plot auch eine approximative Normalverteilung der Residuen. Wir haben zwar leichte Abweichungen, aber die sind nicht so schlimm. Der Großteil der Punkte liegt auf der Diagonalen. Ebenso gibt es auch keine Variable, die einen hohen VIF-Wert hat und somit ungünstig mit anderen Variablen korreliert.
R Code [zeigen / verbergen]
check_model(chickenpea_fit, colors = cbbPalette[6:8],
check = c("qq", "outliers", "pp_check", "homogeneity", "vif")) 
check_model().
53.5 Interpretation des Modells
Nachdem wir nun sicher sind, dass das Modell unseren statistischen Ansprüchen genügt, können wir jetzt die Ergebnisse des Fits des Modells einmal interpretieren. Wir erhalten die Modellparameter über die Funktion model_parameters() aus dem R Paket {parameters}.
R Code [zeigen / verbergen]
chickenpea_fit |>
model_parameters()Parameter | Coefficient | SE | 95% CI | t(86) | p
----------------------------------------------------------------------------
(Intercept) | -5.11 | 9.74 | [-24.48, 14.26] | -0.52 | 0.601
temp | 2.37 | 0.22 | [ 1.93, 2.80] | 10.80 | < .001
rained [low] | 1.78 | 1.19 | [ -0.60, 4.15] | 1.49 | 0.140
location [northeast] | -0.10 | 1.20 | [ -2.50, 2.29] | -0.09 | 0.931
location [west] | 1.96 | 1.63 | [ -1.29, 5.20] | 1.20 | 0.234
no3 | 1.49 | 0.41 | [ 0.68, 2.29] | 3.67 | < .001
fe | 0.66 | 0.53 | [ -0.40, 1.72] | 1.24 | 0.220
sand | 3.04 | 0.12 | [ 2.80, 3.27] | 25.63 | < .001
forest [>1000m] | -3.02 | 1.14 | [ -5.29, -0.75] | -2.64 | 0.010 Schauen wir uns die einzelnen Zeilen aus der Ausgabe einmal in Ruhe an. Wir sind eigentlich nur an den Spalten Coefficient für das \(\beta\) als Effekt der Variablen sowie der Spalte p als \(p\)-Wert für die Variablen interessiert. Wir testen immer als Nullhypothese, ob sich der Parameter von 0 unterscheidet.
(Intercept)beschreibt den den \(y\)-Achsenabschnitt. Wir brauen den Intercept selten in der Interpretation. Wir nehmen hier erstmal hin, dass wir einen von 0 signifikant unterschiedlichen Intercept haben. Meist löschen wir den Intrcept auch aus der finalen Tabelle raus.tempbeschreibt den Effekt der Temperatur. Wenn die Temperatur um ein Grad ansteigt, dann erhalten wir \(1.75\) mehr Trockengewicht als Ertrag. Darüber hinaus ist der Effekt der Temperatur signifikant.rained [low]beschreibt den Effekt des Levelslowdes Faktorsrainedim Vergleich zum Levelhigh. Daher haben wir bei wenig Regen einen um \(1.33\) höheren Ertrag als bei viel Regen.location [northeast]beschreibt den Effekt des Levelsnortheastzu dem Levelnorthdes Faktorslocation. Wir haben also einen \(-1.38\) kleineren Ertrag an Kichererbsen als im Norden von Brandenburg. Wenn du hier eine andere Sortierung willst, dann musst du mit der Funktionfactor()die Level anders sortieren.location [west]beschreibt den Effekt des Levelswestzu dem Levelnorthdes Faktorslocation. Wir haben also einen \(-2.40\) kleineren Ertrag an Kichererbsen als im Norden von Brandenburg. Wenn du hier eine andere Sortierung willst, dann musst du mit der Funktionfactor()die Level anders sortieren.no3beschreibt den Effekt von Nitrat im Boden. Wenn wir die Nitratkonzentration um eine Einheit erhöhen dann steigt der Ertrag um \(1.11\) an. Wir haben hier einen \(p\)-Wert von \(0.012\) vorliegen und können hier von einem signifkianten Effekt sprechen.febeschreibt den Effekt des Eisens im Boden auf den Ertrag an Kichererbsen. Wenn die Konzentration von Eisen um eine Einheit ansteigt, so sinkt der Ertrag von Kichererbsen um \(-0.72\) ab.sandbeschreibt den Anteil an Sand in der Bodenprobe. Wenn der Anteil an Sand um eine Einheit ansteigt, so steigt der Ertrag an Kichererbsen um \(3.03\) an. Dieser Effekt ist auch hoch signifikant. Kichererbsen scheinen sandigen Boden zu bevorzugen.forest [>1000m]beschreibt die Nähe des nächsten Waldstückes als Faktor mit zwei Leveln. Daher haben wir hier einen höheren Ertrag von \(0.67\) an Kichererbsen, wenn wir weiter weg vom Wald messen>1000als Nahe an dem Wald<1000.
Das war eine Wand an Text für die Interpretation des Modells. Was können wir zusammenfassend mitnehmen? Wir haben drei signifikante Einflussfaktoren auf den Ertrag an Kichererbsen gefunden. Zum einen ist weniger Regen signifikant besser als viel Regen. Wir brauchen mehr Nitrat im Boden. Im Weiteren ist ein sandiger Boden besser als ein fetter Boden. Am Ende müssen wir noch schauen, was die nicht signifikanten Ergebnisse uns für Hinweise geben. Der Ort der Messung ist relativ unbedeutend. Es scheint aber so zu sein, dass im Norden mehr Ertrag zu erhalten ist. Hier müsste man einmal schauen, welche Betriebe hier vorliegen und wie die Bodenbeschaffenheit dort war. Im Weiteren sehen wir, dass anscheinend ein Abstand zum Wald vorteilhaft für den Ertrag ist. Hier könnte Wildfraß ein Problem gewesen sein oder aber zu viel Schatten. Auch hier muss man nochmal auf das Feld und schauen, was das konkrete Problem sein könnte. Hier endet die Statistik dann.
53.6 Gruppenvergleich
Häufig ist es ja so, dass wir das Modell für die Gaussian Regression nur schätzen um dann einen Gruppenvergleich zu rechnen. Das heißt, dass es uns interessiert, ob es einen Unterschied zwischen den Leveln eines Faktors gegeben dem Outcome \(y\) gibt. Wir nehmen hier einen ausgedachten Datensatz zu Katzen-, Hunde- und Fuchsflöhen. Dabei erstellen wir uns einen Datensatz mit mittleren Gewicht an Flöhen pro Tierart. Ich habe jetzt ein mittleres Gewicht von \(20mg\) bei den Katzenflöhen, eine mittleres Gewicht von \(30mg\) bei den Hundeflöhen und ein mittleres Gewicht von \(10mg\) bei den Fuchsflöhen gewählt. Wir generieren uns jeweils \(20\) Beobachtungen je Tierart. Damit haben wir dann einen Datensatz zusammen, den wir nutzen können um einmal die Ergebnisse eines Gruppenvergleiches zu verstehen zu können.
R Code [zeigen / verbergen]
set.seed(20231202)
n_rep <- 20
flea_weight_tbl <- tibble(animal = gl(3, n_rep, labels = c("cat", "dog", "fox")),
weight = c(rnorm(n_rep, 20, 1),
rnorm(n_rep, 30, 1),
rnorm(n_rep, 10, 1)))Wenn du gerade hierher gesprungen bist, nochmal das simple Modell für unseren Gruppenvergleich unter einer Gaussian Regression. Wir haben hier nur einen Faktor animal mit in dem Modell. Am Ende des Abschnitts findest du dann noch ein Beispiel mit drei Faktoren zu Gewicht von Brokkoli.
R Code [zeigen / verbergen]
lm_fit <- lm(weight ~ animal, data = flea_weight_tbl) Eigentlich ist es recht einfach, wie wir anfangen. Wir rechnen jetzt als erstes die ANOVA. Hier müssen wir dann einmal den Test angeben, der gerechnet werden soll um die p-Werte zu erhalten. Dann nutze ich noch die Funktion model_parameters() um eine schönere Ausgabe zu erhalten.
R Code [zeigen / verbergen]
lm_fit |>
anova() |>
model_parameters()Parameter | Sum_Squares | df | Mean_Square | F | p
-------------------------------------------------------------
animal | 3960.78 | 2 | 1980.39 | 2525.37 | < .001
Residuals | 44.70 | 57 | 0.78 | |
Anova Table (Type 1 tests)Im Folgenden nutzen wir das R Paket {emmeans} um die mittleren Gewichte der Flöhe zu berechnen.
R Code [zeigen / verbergen]
emm_obj <- lm_fit |>
emmeans(~ animal)
emm_obj animal emmean SE df lower.CL upper.CL
cat 20.2 0.198 57 19.77 20.6
dog 30.1 0.198 57 29.66 30.5
fox 10.2 0.198 57 9.76 10.6
Confidence level used: 0.95 Wir rechnen jetzt den paarweisen Vergleich für alle Tierarten und schauen uns dann an, was wir erhalten haben. Wie du gleich siehst, erhalten wir die Differenzen der Mittelwerte der Flohgewichte für die verschiedenen Tierarten. Hier also einmal die paarweisen Vergleiche, darunter dann gleich das compact letter display.
R Code [zeigen / verbergen]
emm_obj |>
pairs(adjust = "bonferroni") contrast estimate SE df t.ratio p.value
cat - dog -9.9 0.28 57 -35.336 <.0001
cat - fox 10.0 0.28 57 35.732 <.0001
dog - fox 19.9 0.28 57 71.068 <.0001
P value adjustment: bonferroni method for 3 tests Und fast am Ende können wir uns auch das compact letter display erstellen. Auch hier nutzen wir wieder die Funktion cld() aus dem R Paket {multcomp}. Hier erhälst du dann die Information über die mittleren Flohgewichte der jeweiligen Tierarten und ob sich die mittleren Flohgewichte unterscheidet. Ich nutze dann die Ausgabe von emmeans() um mir dann direkt das Säulendiagramm mit den Fehlerbalken und dem compact letter display zu erstellen. Mehr dazu dann im Kasten weiter unten zu dem Beispiel zu den Gewichten des Brokkoli.
R Code [zeigen / verbergen]
emm_obj |>
cld(Letters = letters, adjust = "none") animal emmean SE df lower.CL upper.CL .group
fox 10.2 0.198 57 9.76 10.6 a
cat 20.2 0.198 57 19.77 20.6 b
dog 30.1 0.198 57 29.66 30.5 c
Confidence level used: 0.95
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same. Auch hier sehen wir, dass sich alle drei Gruppen signifikant unterschieden, keine der Tierarten teilt sich einen Buchstaben, so dass wir hier von einem Unterschied zwischen den mittleren Flohgewichten der drei Tierarten ausgehen können.
Damit sind wir einmal mit unserem Gruppenvergleich für die Gaussian Regression auf normalverteilte Daten durch. In dem Kapitel zu den Multiple Vergleichen oder Post-hoc Tests findest du dann noch mehr Inspirationen für die Nutzung von {emmeans}. Hier war es dann die Anwendung auf normalverteilte Dateb zusammen mit einem Faktor. Wenn du dir das Ganze nochmal an einem Beispiel für zwei Faktoren anschauen möchtest, dann findest du im folgenden Kasten ein Beispiel für die Auswertung von Brokkoli nach Gabe verschiedener Dosen eines Düngers und Zeitpunkten.
Anwendungsbeispiel: Dreifaktorieller Vergleich für das Erntegewicht
Im folgenden Beispiel schauen wir uns nochmal ein praktische Auswertung von einem agrarwissenschaftlichen Beispiel mit Brokkoli an. Wir haben uns in diesem Experiment verschiedene Dosen fert_amount von einem Dünger aufgebracht sowie verschiedene Zeitpunkte der Düngung fert_time berücksichtigt. Auch hier haben wir einige Besonderheiten in den Daten, da nicht jede Faktorkombination vorliegt. Wir ignorieren aber diese Probleme und rechnen einfach stumpf unseren Gruppenvergleich.
R Code [zeigen / verbergen]
broc_tbl <- read_excel("data/broccoli_weight.xlsx") |>
mutate(fert_time = factor(fert_time, levels = c("none", "early", "late")),
fert_amount = as_factor(fert_amount),
block = as_factor(block)) |>
select(-stem_hollowness) Dann können wir auch schon die Gaussian Regression mit lm() rechnen.
R Code [zeigen / verbergen]
lm_fit <- lm(weight ~ fert_time + fert_amount + fert_time:fert_amount + block,
data = broc_tbl) Jetzt rechnen wir in den beiden folgenden Tabs einmal die ANOVA und dann auch den multiplen Gruppenvergleich mit {emmeans}. Da wir hier normalveteilte Daten haben, können wir dann einfach die Standardverfahren nehmen. Eventuell müssten wir bei dem Gruppenvergleich mit emmeans() nochmal für Varianzheterogenität adjustieren, aber da erfährst du dann mehr in dem Kapitel zu den Multiple Vergleichen oder Post-hoc Tests.
Wir rechnen hier einmal die ANOVA und nutzen den \(\mathcal{X}^2\)-Test für die Ermittelung der p-Werte. Wir müssen hier einen Test auswählen, da per Standardeinstellung kein Test gerechnet wird. Wir machen dann die Ausgabe nochmal schöner und fertig sind wir.
R Code [zeigen / verbergen]
lm_fit |>
anova() |>
model_parameters()Parameter | Sum_Squares | df | Mean_Square | F | p
-------------------------------------------------------------------------
fert_time | 2.44e+06 | 2 | 1.22e+06 | 44.12 | < .001
fert_amount | 2.11e+06 | 2 | 1.05e+06 | 38.06 | < .001
block | 7.21e+06 | 3 | 2.40e+06 | 86.73 | < .001
fert_time:fert_amount | 26973.84 | 2 | 13486.92 | 0.49 | 0.615
Residuals | 4.28e+07 | 1544 | 27692.44 | |
Anova Table (Type 1 tests)Wir sehen, dass der Effekt der Düngerzeit und die Menge des Düngers signifikant ist, jedoch wir keinen signifikanten Einfluss durch die Interaktion haben. Wir haben aber also keine Interaktion vorliegen. Leider ist auch der Block signifikant, so dass wir eigentlich nicht über den Block mitteln sollten. Wir rechnen trotzdem die Analyse gemittelt über die Blöcke. Wenn du hier mehr erfahren möchtest, dann schaue dir das Beispiel hier nochmal im Kapitel zu dem linearen gemischten Modellen an.
Im Folgenden rechnen wir einmal über alle Faktorkombinationen von fert_time und fert_amount einen Gruppenvergleich. Dafür nutzen wir die Option fert_time * fert_amount. Wenn du die Analyse getrennt für die Menge und den Zeitpunkt durchführen willst, dann nutze die Option fert_time | fert_amount. Dann adjustieren wir noch nach Bonferroni und sind fertig.
R Code [zeigen / verbergen]
emm_obj <- lm_fit |>
emmeans(~ fert_time * fert_amount) |>
cld(Letters = letters, adjust = "bonferroni")
emm_obj fert_time fert_amount emmean SE df lower.CL upper.CL .group
none 0 169 33.97 1544 77.1 260 a
late 150 400 11.25 1544 369.8 430 b
early 150 432 11.05 1544 401.8 461 bc
late 225 467 11.20 1544 436.9 497 cd
early 225 497 7.97 1544 475.2 518 de
late 300 506 11.40 1544 475.1 537 de
early 300 517 11.38 1544 486.8 548 e
early 0 nonEst NA NA NA NA
late 0 nonEst NA NA NA NA
none 150 nonEst NA NA NA NA
none 225 nonEst NA NA NA NA
none 300 nonEst NA NA NA NA
Results are averaged over the levels of: block
Confidence level used: 0.95
Conf-level adjustment: bonferroni method for 7 estimates
P value adjustment: bonferroni method for 21 tests
significance level used: alpha = 0.05
NOTE: If two or more means share the same grouping symbol,
then we cannot show them to be different.
But we also did not show them to be the same. Das emm_obj Objekt werden wir dann gleich einmal in {ggplot} visualisieren. Die emmean stellt den mittleren Gewicht des Brokkoli je Faktorkombination dar gemittelt über alle Blöcke. Das Mitteln über die Blöcke ist eher fragwürdig, da wir ja einen Effekt der Blöcke in der ANOVA gefunden hatten. Hier schauen wir dann nochmal auf das Beispiel im Kapitel zu den linearen gemischten Modellen. Dann können wir zum Abschluss auch das compact letter display anhand der Abbildung interpretieren.
In der Abbildung 59.18 siehst du das Ergebnis der Auswertung in einem Säulendiagramm. Wir sehen einen klaren Effekt der Düngezeitpunkte sowie der Düngermenge auf das Gewicht von Brokkoli. Wenn wir ein mittleres Gewicht von \(500g\) für den Handel erreichen wollen, dann erhalten wir das Zielgewicht nur bei einer Düngemenge von \(300mg/l\). Hier stellt sich dann die Frage, ob wir bei \(225mg/l\) und einem frühen Zeitpunkt der Düngung nicht auch genug Brokkoli erhalten. Das Ziel ist es ja eigentlich in einen Zielbereich zu kommen. Die Köpfe sollen ja nicht zu schwer und auch nicht zu leicht sein. Aber diese Frage und andere Fragen der biologischen Anwendung lassen wir dann hier einmal offen, denn das Beispiel soll ja nur ein Beispiel sein.
R Code [zeigen / verbergen]
emm_obj |>
as_tibble() |>
ggplot(aes(x = fert_time, y = emmean, fill = fert_amount)) +
theme_minimal() +
labs(y = "Mittleres Gewicht [g] des Brokkoli", x = "Düngezeitpunkt",
fill = "Düngemenge [mg/l]") +
scale_y_continuous(breaks = seq(0, 500, by = 100)) +
geom_hline(yintercept = 500, size = 0.75, linetype = 2) +
geom_bar(stat = "identity",
position = position_dodge(width = 0.9, preserve = "single")) +
geom_text(aes(label = .group, y = emmean + SE + 0.01),
position = position_dodge(width = 0.9), vjust = -0.25) +
geom_errorbar(aes(ymin = emmean-SE, ymax = emmean+SE),
width = 0.2,
position = position_dodge(width = 0.9, preserve = "single")) +
scale_fill_okabeito()
lm()-Modell berechnet das mittler Gewicht des Brokkoli in jeder Faktorkombination. Das compact letter display wird dann in {emmeans} generiert. Wir nutzen hier den Standardfehler, da die Standardabweichung mit der großen Fallzahl rießig wäre. Wir haben noch ein Mindestgewicht von 500g ergänzt.