7 Differential- und Integralrechnung

Letzte Änderung am 04. October 2023 um 18:33:11

Wie immer gilt, wir schauen uns hier nur einen kleinen Teilabriss der Thematik an. Auch bei der hier betrachteten Differentialrechnung geht es um die Anwendung der ersten Ableitung $f'(x)$. Es geht also um die Betrachtung von Extremwertproblemen. In dem Fall der Integralrechnung wollen wir die Stammfunktion $F(x)$ nutzen um die Fläche unter einer Kurve zu berechnen.

Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

7.1 Differentialrechnung

Die Ableitung kennst du ja noch aus der Schule und wir wollen hier auch die Ableitung nur nutzen um Extremwertprobleme zu lösen. Das heißt, dass wir die erste Ablitung $f'(x)$ gleich Null setzen und dann Lösen. Wir du dann die Gleichugn $f'(x) = 0$ im quadratischen Fall löst, kannst du weiter unten im Kapitel nachlesen.

Da wir wirklich keien allzu großen Probleme mit den Ableitungen lösen, reicht es, wenn du die gängigen Regeln der ersten Ableitung kennst. Im Folgenden leiten wir einmal eine quadratische Gleichung ab.

\[ \begin{aligned} f(x) &= x^2 +4x + 3\\ f'(x) &= 2x + 4 \end{aligned} \]

Das ganze geht auch eine Nummer komplexer und etwas detaillierter aufgeschrieben.

\[ \begin{aligned} f(x) &= 7x^3 +5x^2 + 6x + 2\\ f'(x) &= 3 \cdot 7 x^{3-1} + 2 \cdot 5 x^{2-1} + 1 \cdot 6 x^{1-1} \\ &= 21x^2 + 10x + 6\\ \end{aligned} \]

7.2 Integralrechnung

Für die Integralrechnung, also die Berechung der Fläche unter der Kurve, benötigen wir die Aufleitung der Funktion $f(x$. Die Aufleitung wird auch Stammfunktion $F(x)$ genannt. Bei der Stamfunktion musst du immer beachten, dass die Ableitung wieder zu der ursprünglichen Funktion $f(x)$ führt. Einmal ein Beispiel für die Stammfunktion.

\[ \begin{aligned} f(x) &= x^2 +4x + 3\\ F(x) &= \cfrac{1}{3} \cdot x^3 + \cfrac{1}{2} \cdot 4x^2 + 3x \end{aligned} \]

Das ganze geht auch eine Nummer komplexer und etwas detaillierter aufgeschrieben.

\[ \begin{aligned} f(x) &= 7x^3 +5x^2 + 6x + 2\\ F(x) &= \cfrac{1}{4} \cdot 7 x^{3+1} + \cfrac{1}{3} \cdot 5 x^{2+1} + \cfrac{1}{2} \cdot 6 x^{1+1} + 2x^{0+1} \\ &= \cfrac{7}{4}x^4 + \cfrac{5}{3}x^3 + 3x^2 + 2x\\ \end{aligned} \]

Wenn due jetzt die Stammfunktion $F(x)$ ableitest, dann kommt wieder die Funktion $f(x)$ heraus.

7.3 Quadratische Gleichung lösen

Bei den Extremwertproblemen ensteht meist eine quadratische Gleichung, die wir dann gleich Null setzen müssen. Um eine quadratische Gleichugn zu lösen, können wir auf zwei Ansätze zurückgreifen. Einmal die a-b-c-Formel oder die p-q-Formel. Welche der beiden Formeln du nutzt, ist eigentlich egal. Am Ende kannst du jede Gleichung vom a-b-c-Format in das p-q-Format überführen indem du die Gleichung durch a teilst.

Mehr zu quadratischen Gleichungen gibt es dann auch auf Wikipeda.

7.3.1 a-b-c-Formel

Die a-b-c-Formel wird auch Mitternachtsformel genannt und ist die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$. Die a-b-c-Formel ist dann wie folgt.

\[ x_{1/2} = \cfrac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \] Und einmal ein Beispiel.

\[ \begin{aligned} 26 &= 5x^2 +4x\\ 5x^2 + 4x - 26 &= 0 \\ \end{aligned} \] Dann setzen wir alles einmal ein.

\[ \begin{aligned} x_{1/2} &= \cfrac{-4 \pm\sqrt{4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26)}}{2 \cdot 5}\\ &= \cfrac{-4 \pm\sqrt{16 -(-520)}}{10}\\ &= \cfrac{-4 \pm 23.15}{10}\\ \end{aligned} \]

Damit ergibt sich dann eine Lösung für $x_{1,2}$ wie folgt.

\[ x_1 = 1.92; \; x_2 = -2.72 \]

7.3.2 p-q-Formel

Wenn wir ein $a=1$ vorleigen haben, dann spricht man auch von der Normalform der quadratischen Gleichung. Bei Vorliegen der Normalform $x^2 + px + q = 0$ lauten die Lösungen nach der p-q-Formel wie folgt.

\[ x_{1,2} = - \cfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2 - q} \] Und einmal ein Beispiel.

\[ \begin{aligned} 26 &= 5x^2 +4x\\ 5x^2 + 4x - 26 &= 0 \\ x^2 + \cfrac{4}{5}x - \cfrac{26}{5} &= 0 \\ x^2 + 0.8x - 5.2 &= 0 \\ \end{aligned} \]

Dann setzen wir alles einmal ein.

\[ \begin{aligned} x_{1,2} &= - \cfrac{0.8}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{0.8}{2}\right)^2 - (-5.2)}\\ &= - 0.4\pm\sqrt{0.4^2 + 5.2}\\ &= - 0.4\pm\sqrt{5.36}\\ &= - 0.4\pm2.32 \end{aligned} \]

Damit ergibt sich dann eine Lösung für $x_{1,2}$ wie folgt.

\[ x_1 = 1.92; \; x_2 = -2.72 \]

# Differential- und Integralrechnung {#sec-func-diff} ```{r echo = FALSE} pacman::p_load(tidyverse, readxl, knitr, kableExtra, Hmisc, see) ``` *Letzte Änderung am `r format(fs::file_info("functions-extrem-stamm.qmd")$modification_time, '%d. %B %Y um %H:%M:%S')`* Wie immer gilt, wir schauen uns hier nur einen kleinen Teilabriss der Thematik an. Auch bei der hier betrachteten [Differentialrechnung](https://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung#Ableitungsfunktion) geht es um die Anwendung der ersten Ableitung $f'(x)$. Es geht also um die Betrachtung von Extremwertproblemen. In dem Fall der [Integralrechnung](https://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung) wollen wir die Stammfunktion $F(x)$ nutzen um die Fläche unter einer Kurve zu berechnen. ::: column-margin [Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen](https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen) ::: ## Differentialrechnung Die Ableitung kennst du ja noch aus der Schule und wir wollen hier auch die Ableitung nur nutzen um Extremwertprobleme zu lösen. Das heißt, dass wir die erste Ablitung $f'(x)$ gleich Null setzen und dann Lösen. Wir du dann die Gleichugn $f'(x) = 0$ im quadratischen Fall löst, kannst du weiter unten im Kapitel nachlesen. Da wir wirklich keien allzu großen Probleme mit den Ableitungen lösen, reicht es, wenn du die gängigen Regeln der ersten Ableitung kennst. Im Folgenden leiten wir einmal eine quadratische Gleichung ab. $$ \begin{aligned} f(x) &= x^2 +4x + 3\\ f'(x) &= 2x + 4 \end{aligned} $$ Das ganze geht auch eine Nummer komplexer und etwas detaillierter aufgeschrieben. $$ \begin{aligned} f(x) &= 7x^3 +5x^2 + 6x + 2\\ f'(x) &= 3 \cdot 7 x^{3-1} + 2 \cdot 5 x^{2-1} + 1 \cdot 6 x^{1-1} \\ &= 21x^2 + 10x + 6\\ \end{aligned} $$ ## Integralrechnung Für die Integralrechnung, also die Berechung der Fläche unter der Kurve, benötigen wir die Aufleitung der Funktion $f(x$. Die Aufleitung wird auch Stammfunktion $F(x)$ genannt. Bei der Stamfunktion musst du immer beachten, dass die Ableitung wieder zu der ursprünglichen Funktion $f(x)$ führt. Einmal ein Beispiel für die Stammfunktion. $$ \begin{aligned} f(x) &= x^2 +4x + 3\\ F(x) &= \cfrac{1}{3} \cdot x^3 + \cfrac{1}{2} \cdot 4x^2 + 3x \end{aligned} $$ Das ganze geht auch eine Nummer komplexer und etwas detaillierter aufgeschrieben. $$ \begin{aligned} f(x) &= 7x^3 +5x^2 + 6x + 2\\ F(x) &= \cfrac{1}{4} \cdot 7 x^{3+1} + \cfrac{1}{3} \cdot 5 x^{2+1} + \cfrac{1}{2} \cdot 6 x^{1+1} + 2x^{0+1} \\ &= \cfrac{7}{4}x^4 + \cfrac{5}{3}x^3 + 3x^2 + 2x\\ \end{aligned} $$ Wenn due jetzt die Stammfunktion $F(x)$ ableitest, dann kommt wieder die Funktion $f(x)$ heraus. ## Quadratische Gleichung lösen Bei den Extremwertproblemen ensteht meist eine quadratische Gleichung, die wir dann gleich Null setzen müssen. Um eine quadratische Gleichugn zu lösen, können wir auf zwei Ansätze zurückgreifen. Einmal die a-b-c-Formel oder die p-q-Formel. Welche der beiden Formeln du nutzt, ist eigentlich egal. Am Ende kannst du jede Gleichung vom a-b-c-Format in das p-q-Format überführen indem du die Gleichung durch a teilst. ::: column-margin Mehr zu [quadratischen Gleichungen](https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung) gibt es dann auch auf Wikipeda. ::: ### a-b-c-Formel Die a-b-c-Formel wird auch Mitternachtsformel genannt und ist die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung der Form $ax^2 + bx + c = 0$. Die a-b-c-Formel ist dann wie folgt. $$ x_{1/2} = \cfrac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} $$ Und einmal ein Beispiel. $$ \begin{aligned} 26 &= 5x^2 +4x\\ 5x^2 + 4x - 26 &= 0 \\ \end{aligned} $$ Dann setzen wir alles einmal ein. $$ \begin{aligned} x_{1/2} &= \cfrac{-4 \pm\sqrt{4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26)}}{2 \cdot 5}\\ &= \cfrac{-4 \pm\sqrt{16 -(-520)}}{10}\\ &= \cfrac{-4 \pm 23.15}{10}\\ \end{aligned} $$ Damit ergibt sich dann eine Lösung für $x_{1,2}$ wie folgt. $$ x_1 = 1.92; \; x_2 = -2.72 $$ ### p-q-Formel Wenn wir ein $a=1$ vorleigen haben, dann spricht man auch von der Normalform der quadratischen Gleichung. Bei Vorliegen der Normalform $x^2 + px + q = 0$ lauten die Lösungen nach der p-q-Formel wie folgt. $$ x_{1,2} = - \cfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2 - q} $$ Und einmal ein Beispiel. $$ \begin{aligned} 26 &= 5x^2 +4x\\ 5x^2 + 4x - 26 &= 0 \\ x^2 + \cfrac{4}{5}x - \cfrac{26}{5} &= 0 \\ x^2 + 0.8x - 5.2 &= 0 \\ \end{aligned} $$ Dann setzen wir alles einmal ein. $$ \begin{aligned} x_{1,2} &= - \cfrac{0.8}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{0.8}{2}\right)^2 - (-5.2)}\\ &= - 0.4\pm\sqrt{0.4^2 + 5.2}\\ &= - 0.4\pm\sqrt{5.36}\\ &= - 0.4\pm2.32 \end{aligned} $$ Damit ergibt sich dann eine Lösung für $x_{1,2}$ wie folgt. $$ x_1 = 1.92; \; x_2 = -2.72 $$