9 Differential- und Integralrechnung
Letzte Änderung am 04. October 2023 um 18:33:11
Wie immer gilt, wir schauen uns hier nur einen kleinen Teilabriss der Thematik an. Auch bei der hier betrachteten Differentialrechnung geht es um die Anwendung der ersten Ableitung \(f'(x)\). Es geht also um die Betrachtung von Extremwertproblemen. In dem Fall der Integralrechnung wollen wir die Stammfunktion \(F(x)\) nutzen um die Fläche unter einer Kurve zu berechnen.
9.1 Differentialrechnung
Die Ableitung kennst du ja noch aus der Schule und wir wollen hier auch die Ableitung nur nutzen um Extremwertprobleme zu lösen. Das heißt, dass wir die erste Ablitung \(f'(x)\) gleich Null setzen und dann Lösen. Wir du dann die Gleichugn \(f'(x) = 0\) im quadratischen Fall löst, kannst du weiter unten im Kapitel nachlesen.
Da wir wirklich keien allzu großen Probleme mit den Ableitungen lösen, reicht es, wenn du die gängigen Regeln der ersten Ableitung kennst. Im Folgenden leiten wir einmal eine quadratische Gleichung ab.
\[ \begin{aligned} f(x) &= x^2 +4x + 3\\ f'(x) &= 2x + 4 \end{aligned} \]
Das ganze geht auch eine Nummer komplexer und etwas detaillierter aufgeschrieben.
\[ \begin{aligned} f(x) &= 7x^3 +5x^2 + 6x + 2\\ f'(x) &= 3 \cdot 7 x^{3-1} + 2 \cdot 5 x^{2-1} + 1 \cdot 6 x^{1-1} \\ &= 21x^2 + 10x + 6\\ \end{aligned} \]
9.2 Integralrechnung
Für die Integralrechnung, also die Berechung der Fläche unter der Kurve, benötigen wir die Aufleitung der Funktion \(f(x\). Die Aufleitung wird auch Stammfunktion \(F(x)\) genannt. Bei der Stamfunktion musst du immer beachten, dass die Ableitung wieder zu der ursprünglichen Funktion \(f(x)\) führt. Einmal ein Beispiel für die Stammfunktion.
\[ \begin{aligned} f(x) &= x^2 +4x + 3\\ F(x) &= \cfrac{1}{3} \cdot x^3 + \cfrac{1}{2} \cdot 4x^2 + 3x \end{aligned} \]
Das ganze geht auch eine Nummer komplexer und etwas detaillierter aufgeschrieben.
\[ \begin{aligned} f(x) &= 7x^3 +5x^2 + 6x + 2\\ F(x) &= \cfrac{1}{4} \cdot 7 x^{3+1} + \cfrac{1}{3} \cdot 5 x^{2+1} + \cfrac{1}{2} \cdot 6 x^{1+1} + 2x^{0+1} \\ &= \cfrac{7}{4}x^4 + \cfrac{5}{3}x^3 + 3x^2 + 2x\\ \end{aligned} \]
Wenn due jetzt die Stammfunktion \(F(x)\) ableitest, dann kommt wieder die Funktion \(f(x)\) heraus.
9.3 Quadratische Gleichung lösen
Bei den Extremwertproblemen ensteht meist eine quadratische Gleichung, die wir dann gleich Null setzen müssen. Um eine quadratische Gleichugn zu lösen, können wir auf zwei Ansätze zurückgreifen. Einmal die a-b-c-Formel oder die p-q-Formel. Welche der beiden Formeln du nutzt, ist eigentlich egal. Am Ende kannst du jede Gleichung vom a-b-c-Format in das p-q-Format überführen indem du die Gleichung durch a teilst.
Mehr zu quadratischen Gleichungen gibt es dann auch auf Wikipeda.
9.3.1 a-b-c-Formel
Die a-b-c-Formel wird auch Mitternachtsformel genannt und ist die allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\). Die a-b-c-Formel ist dann wie folgt.
\[ x_{1/2} = \cfrac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \] Und einmal ein Beispiel.
\[ \begin{aligned} 26 &= 5x^2 +4x\\ 5x^2 + 4x - 26 &= 0 \\ \end{aligned} \] Dann setzen wir alles einmal ein.
\[ \begin{aligned} x_{1/2} &= \cfrac{-4 \pm\sqrt{4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-26)}}{2 \cdot 5}\\ &= \cfrac{-4 \pm\sqrt{16 -(-520)}}{10}\\ &= \cfrac{-4 \pm 23.15}{10}\\ \end{aligned} \]
Damit ergibt sich dann eine Lösung für \(x_{1,2}\) wie folgt.
\[ x_1 = 1.92; \; x_2 = -2.72 \]
9.3.2 p-q-Formel
Wenn wir ein \(a=1\) vorleigen haben, dann spricht man auch von der Normalform der quadratischen Gleichung. Bei Vorliegen der Normalform \(x^2 + px + q = 0\) lauten die Lösungen nach der p-q-Formel wie folgt.
\[ x_{1,2} = - \cfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2 - q} \] Und einmal ein Beispiel.
\[ \begin{aligned} 26 &= 5x^2 +4x\\ 5x^2 + 4x - 26 &= 0 \\ x^2 + \cfrac{4}{5}x - \cfrac{26}{5} &= 0 \\ x^2 + 0.8x - 5.2 &= 0 \\ \end{aligned} \]
Dann setzen wir alles einmal ein.
\[ \begin{aligned} x_{1,2} &= - \cfrac{0.8}{2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{0.8}{2}\right)^2 - (-5.2)}\\ &= - 0.4\pm\sqrt{0.4^2 + 5.2}\\ &= - 0.4\pm\sqrt{5.36}\\ &= - 0.4\pm2.32 \end{aligned} \]
Damit ergibt sich dann eine Lösung für \(x_{1,2}\) wie folgt.
\[ x_1 = 1.92; \; x_2 = -2.72 \]